Pochodne... Maslanek: Wykazać, że styczna do hiperboli równoosiowej xy=C ogranicza z osiami współrzędnych trójkąt o stałym polu.

	C
y' = −
	x2

Jak wykazać?

Andrzej: styczna jest prostą o równaniu kierunkowym y = ax+b Rozważmy styczną w punkcie x_s współczynnik kierunkowy a to wartość pochodnej w punkcie x_s pochodną właśnie wyliczyłeś

	C
więc styczna ma równanie y = −		x+b
	xs2

	C
znajdź współczynnik b, wiedząc, że styczna przechodzi przez punkt (xs,		)
	xs

teraz do pola trójkąta: jest prostokątny styczna przecina osie w punktach (0,b) i (x₀,0)

	b
x0 jest miejscem zerowym funkcji, której wykresem jest nasza styczna (x0 = −		)
	2a

	1
zatem pole trójkąta jest równe		|x0|*|b|
	2

powinno wyjść Ci pole równe 2C

Maslanek:

	b
Czemu x0 = −		?
	2a

	C		c
Wyszło mi tak: ystycz = −		x + 2
	x2		xs

	xs
x0 =		.
	2

Domyślam się, że x₀ powinno wyjść 2x_s. Tylko skąd?

Maslanek: Hop do góry!

Maslanek: Hop?

Andrzej:

	b
oj bo się "przejęzyczyłem", przepraszam, oczywiście że x0 = −
	a

ale dalej co napisałem to tak ma być

Maslanek: To jeszcze mi powiedz proszę, gdzie popełniam błąd rachunkowy albo logiczny Bo dalej dla mnie P=C/2.

Andrzej: mi wyszło x₀ = 2x_s, sprawdź to miejsce

Maslanek: Liczę tak.

	C		C
ystycz=−		+ 2
	x		xs

	C		C
(x0, 0) ∊ ystycz ⇒ 0=−		+ 2
	x0		xs

C		C
	= 2
x0		xs

	xs * C		xs
x0 =		=		.
	2C		2

Tak mam...

pigor: ... no to jeszcze ja , np. tak :

	C		C
niech punkt styczności S=(xs,ys)=(xs,		) i C>0 , to f'{xs)=−		, a wtedy
	xs		xs2

	C		C
równanie stycznej : y−		=−		(x−xs) / *xs2 ⇔
	xs		xs2

⇔ x_s²y−Cx_s=−Cx+Cx_s ⇔ Cx+y_s²y=2Cx_s / : 2Cx_s ⇔

	x		y
⇔		+		= 1 − równanie odcinkowe stycznej , zatem
	2xs		2C   xs

	1		2C
PΔ=		* 2xs *		= 2C= const. c.n.w. . ...
	2		xs

Eta: dla pigor

Andrzej: do Maslanka: na samym początku... skróciłeś parametr x_s ze zmienną x, a to przecież nie to samo

	C		2C
powinno być y = −		x +
	xs2		xs

	C		2C
i dalej 0 = −		x0 +		,
	xs2		xs

stąd x₀ =...

Maslanek: Dobra... Czyli błąd polegał na tym, że wg mnie y_stycz = −C/x + b. Podczas gdy:

	C
ystycz = −		* x + b.
	xs2

Wtedy x₀ = 2x_s. I wszystko pięknie świeci Dziękuję